Переплет дипломов
  • Критерій Манна-Уітні

Зміст

 

 

Вступ  2

Непараметричний U-критерій  Манна-Уітні        3

Непараметричний Т-критерій  Уілкоксона           4

Різниця в умовах використання непараметричних критеріїв     7

Висновки       9

Список використаної літератури    10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

 

Статистичний критерій - суворе математичне правило, по якому приймається або відкидається та або інша статистична гіпотеза. Побудова критерію є вибором відповідної функції від результатів спостережень (ряду емпірично набутих значень ознаки), яка служить для виявлення міри розбіжності між емпіричними значеннями і гіпотетичними.

Статистичні критерії підрозділяються на наступні категорії [1, c.167]:

Критерії значущості. Перевірка на значущість припускає перевірку гіпотези про чисельні значення відомого закону розподілу.

Критерії згоди. Перевірка на згоду має на увазі перевірку припущення про те, що досліджувана випадкова величина підкоряється передбачуваному закону. Критерії згоди можна також сприймати, як критерії значущості.

Критерії на однорідність. При перевірці на однорідність випадкові величини досліджуються на факт взаємної відповідності їх законів розподілу.

Цей розподіл умовний, і частенько один і той же критерій може бути використаний в різних якостях. Непараметричні (вільні від розподілу) критерії однорідності не припускають присутність якої-небудь фундаментальної інформації про закон розподілу. Будь-який розподіл можна описати параметром положення, що характеризує центр групування випадкових величин, і параметром масштабу, що характеризує міру розсіяння випадкових величин відносно центру групування. Коли закон розподілу невідомий, гіпотези про параметри перевіряються за допомогою спеціальних критеріїв зрушення і масштабу. Також існують двохвибіркові критерії згоди. В порівнянні із стандартними параметричними процедурами, непараметричні статистичні методи ґрунтуються на слабкіших допущеннях відносно аналізованих даних.

Непараметричний U-критерій  Манна-Уітні

 

U - критерий Манна - Уітні (англ. Mann - Whitney U - test) - статистичний критерій, використовуваний для оцінки відмінностей між двома вибірками по рівню якої-небудь ознаки, виміряної кількісно. Дозволяє виявляти відмінності в значенні параметра між малими вибірками [2, c. 218].

Інші назви: критерій Манна - Уітні - Уілкоксона (англ. Mann - Whitney - Wilcoxon, MWW), критерій суми рангів Уілкоксона (англ. Wilcoxon rank - sum test) або критерій Уілкоксона - Манна - Уітні (англ. Wilcoxon - Mann - Whitney test).

Цей метод виявлення відмінностей між вибірками був запропонований в 1945 році Френком Уілкоксоном (F. Wilcoxon). У 1947 році він був істотно перероблений і розширений Х. Б. Манному (H. B. Mann) і Д. Р. Уітні (D. R. Whitney), по іменах яких сьогодні зазвичай і називається.

Цей метод визначає, чи досить мала зона значень, що перехрещуються, між двома рядами (ранжованим рядом значень параметра в першій вибірці і таким же в другій вибірці). Чим менше значення критерію, тим вірогідніше, що відмінності між значеннями параметра у вибірках достовірні.

Обмеження застосовності критерію :

У кожній з вибірок повинно бути не менше 3 значень ознаки. Допускається, щоб в одній вибірці були два значення, але в другій тоді не менше п'ять.

У вибіркових даних не повинно бути співпадаючих значень (усі числа - різні) або таких збігів повинно бути дуже мало.

Для застосування U - критерія Манна - Уітні треба виробити наступні операції.

Скласти єдиний ранжований ряд з обох вибірок, що зіставляються, розставивши їх елементи по мірі наростання ознаки і приписавши меншому значенню менший ранг. Загальна кількість рангів вийде рівною:

N = n1 + n2,

де n1 — кількість одиниць в першій вибірці, а n2 — кількість одиниць в другій вибірці.

Розділити єдиний ранжований ряд два, що складаються відповідно з одиниць першої і другої вибірок. Підрахувати окремо суму рангів, що припали на долю елементів першої вибірки, і окремо - на долю елементів другої вибірки. Визначити велику з двох рангових сум (Tx), відповідну вибірці з nx одиниць.

Визначити значення U - критерія Манна - Уітні по формулі:

 

По таблиці для обраного рівня статистичної значущості визначити критичне значення критерію для даних n1 і n2. Якщо набутого значення U менше табличного або дорівнює йому, то признається наявність істотної відмінності між рівнем ознаки в даних вибірках (приймається альтернативна гіпотеза). Якщо ж набутого значення U більше за табличне, приймається нульова гіпотеза. Достовірність відмінностей тим вище, чим менше значення U.

При справедливості нульової гіпотези критерій має математичне очікування  и дисперсію  і при досить великому об'ємі вибіркових даних 19,\;n_2>19)"> розподілений практично нормально.

 

Непараметричний Т-критерій  Уілкоксона

 

 

Т-критерій Увлкоксона - непараметричний статистичний тест (критерій), використовуваний для перевірки відмінностей між двома вибірками парних вимірів. Уперше запропонований Франком Уілкоксоном.

Критерій призначений для зіставлення показників, виміряних в двох різних умовах на одній і тій же вибірці випробовуваних. Він дозволяє встановити не лише спрямованість змін, але і їх вираженість, тобто, здатний визначити, чи являється зрушення показників в одному напрямі інтенсивнішим, ніж в іншому [2, c.323].

Критерій застосовний в тих випадках, коли ознаки виміряні, принаймні, в порядковій шкалі. Доцільно застосовувати цей критерій, коли величина самих зрушень варіює в деякому діапазоні (10-15% від їх величини). Це пояснюється тим, що розкид значень зрушень має бути таким, щоб з'являлася можливість їх ранжирування. У випадку якщо зрушення трохи відрізняються між собою, і набувають якихось кінцевих значень, наприклад. +1, - 1 і 0, формальних перешкод до застосування критерію немає, але, зважаючи на велике число однакових рангів, ранжирування втрачає сенс, і ті ж результати простіше було б отримати за допомогою критерію знаків.

Суть методу полягає в тому, що ми зіставляємо абсолютні величини вираженості зрушень в тому або іншому напрямі. Для цього спочатку усі абсолютні величини зрушень ранжуються, а потім підсумовуються ранги. Якщо зрушення в ту або іншу сторону відбуваються випадково, то і суми їх рангів виявляться приблизно рівні. Якщо ж інтенсивність зрушень в один бік більше, то сума рангів абсолютних значень зрушень в протилежну сторону буде значно нижча, ніж це могло б бути при випадкових змінах.

Обмеження критерію :

Об'єм вибірки - від 5 до 50 елементів.

Нульові зрушення виключаються з розгляду. (Цю вимогу можна обійти, переформулювавши вид гіпотези. Наприклад: зрушення у бік збільшення значень перевищує зрушення у бік їх зменшення і тенденцію до збереження на колишньому рівні.)

Зрушення в напрямі, що частіше зустрічається, прийнято вважати "типовим", і навпаки.

Є варіант, що також урізає, для порівняння однієї вибірки з відомим значенням медіани.

 

Алгоритм:

1. Скласти список випробовуваних у будь-якому порядку, наприклад, алфавітному.

2. Вичислити різницю між індивідуальними значеннями в другому і першому вимірах. Визначити, що вважатиметься типовим зрушенням.

3. Згідно з алгоритмом ранжирування, проранжувати абсолютні величини різниць, нараховуючи меншому значенню менший ранг, і перевірити збіг отриманої суми рангів з розрахунковою.

4. Відмітити яким-небудь чином ранги, відповідні зрушенням в нетиповому напрямі. Підрахувати їх суму Т.

5. Визначити критичні значення Т для цього об'єму вибірки. Якщо Т-эмп. менше або рівний Т-кр. - зрушення в "типову" сторону достовірно переважає.

Фактично оцінюються знаки значень, отриманих відніманням ряду значень одного виміру з іншого. Якщо в результаті кількість значень, що знизилися, приблизно дорівнює кількості тих, що збільшилися, то гіпотеза про нульову медіану підтверджується.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Різниця в умовах використання непараметричних критеріїв

 

Порівняльний аналіз умов використання досліджуваних непараметричних критеріїв наведено в таблиці:

Оцінюваний параметр

Критерій Манна - Уітні

Критерій Уілкокса

Види зрушень

Тимчасові, ситуаційні, умоглядні, вимірювальні

2. Зрушення під впливом експериментальних дій

Структурні зрушення

2. Зрушення під впливом експериментальних дій

Об’єкти співпоставлення

1. Одні і ті ж показники, виміряні у одних і тих же випробовуваних в різний час, в різних ситуаціях, в різних умовах, що представляються, або різними способами

2.  Одні і ті ж показники, виміряні у одних і тих же випробовуваних до і після дії,  за відсутності контрольної групи;

3. Різні показники одних і тих же випробовуваних

2.  Одні і ті ж показники, виміряні у одних і тих же випробовуваних до і після дії,  за наявності контрольної групи;

Кількість замірів

2

2

Кількість груп

1

2

 

Таким чином, відмінність в використанні непараметричних критеріїв Манна - Уітні і Уілкокса полягають в тому, що перший використовується для виявлення відмінностей в рівні досліджуваної ознаки між двома вибірками, а останній - для  оцінки зрушення значень досліджуваної ознаки в двох вимірах на одній і тій же вибірці випробовуваних.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновки

 

Існує певне співвідношення вигод і втрат, пов'язаних з використанням  непараметричних критеріїв замість параметричних. Головним мотивом застосування непараметричних методів служить небажання робити допущення, необхідні для використання параметричних процедур. Додатковим міркуванням на користь вибору непараметричних критеріїв для частини дослідників служить властива деяким (хоча далеко не усім!) таким критеріям легкість застосування і простота обчислень.

Слабке місце непараметричних критеріїв полягає в їх відносно низької статистичної потужності в порівнянні із стандартними параметричними критеріями. Потужність статистичного критерію визначається як вірогідність відхилення нульової гіпотези в тих випадках, коли вона є помилковою. Непараметричні критерії зазвичай вимагають великих об'ємів вибірки, щоб порівнятися по статистичній потужності з параметричними критеріями. Коли аналізовані дані більш менш відповідають допущенням параметричних критеріїв, слідує, ймовірно, використовувати саме ці критерії.

Критерій Манна - Уітні грунтується на використанні рангів результатів спостережень з метою перевірки гіпотез відносно двох генеральних сукупностей, з яких витягаються незалежні вибірки порівнюваних спостережень.

Критерій Уілкокса заснований на використанні рангів абсолютних значень різниць між членами зв'язаних пар.

Відмінність в використанні непараметричних критеріїв Манна - Уітні і Уілкокса полягають в тому, що перший використовується для виявлення відмінностей в рівні досліджуваної ознаки між двома вибірками, а останній - для  оцінки зрушення значень досліджуваної ознаки в двох вимірах на одній і тій же вибірці випробовуваних.

 

Список використаної літератури

 

Статистика // под редакцией Елисеевой И. И. - Юрайт, 2010 г.

Статистика // Электронный учебный курс. – Кнорус, 2007

В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. Статистика. - КноРус, 2009 г.

 

 

 



Другие работы по теме:

Переплет дипломов