Contribution to International Economy

  • Q_Basic
Решение трансцендентных уравнений
В общем виде трансцендентное уравнение можно записать в виде , где функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале . Всякое число хо, обрашающее в нуль, называется корнем этого уравнения. Поскольку подавляющее большинство трансцендентных уравнений не решаются путем аналитических преобразований, на практике их решают только численными методами. Наиболее распространенные методы нахождения действительных корней трансцендентных уравнений: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод простой итерации.
Первый этап численного решения состоит в отделении корней, т.е. установление промежутков, содержащих только один корень. Отделение корней во многих случаях можно произвести графически. Поскольку действительные корни – это точки пересечения графика функции с осью абсцисс, достаточно построить график функции и отметить на оси интервалы, содержащие только один корень. Построение графиков часто удается упростить, заменив исходное уравнение равносильным ему . В этом случае строятся графики функций и , а потом на оси Ох выделяются интервалы, локализующие абсциссы пересечения этих графиков.
Метод дихотомии (половинного деления)
Пусть функция при определена и непрерывна. Пусть имеются два числа х1 и х2 такие, что . Если имеют противоположные знаки, то между х1 и х2 существует хотя бы один корень функции. разделим интервал пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на интервале , либо на интервале . Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Рассмотренный метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Приняв в качестве приближения корня значение , получим погрешность вычисления, не превышающую значение . Недостатком метода является его медленная сходимость.
Метод хорд (секущих,правило ложного положения)
Пусть функция имеет вещественный корень, который находится внутри интервала , причем и нигде не обращаются в нуль на этом интервале, следовательно сохраняют свой знак. Тогда числа а и b могут быть приняты за первое приближение этого корня. Возможны следующие случаи:
1) на отрезке ;
2) на отрезке ;
3) на отрезке ;
4) на отрезке .
Крайние точки кривой соединим хордой и точку пересечения хорды с осью Ох обозначим а1 в первом и втором случаях и b1 в третьем и четвертом. В первом и втором случаях точка а1 дает более точное значение корня, чем а. Вычислим это значение: . В третьем и четвертом случаях приближенное значение корня вычислим по формуле . Продолжая итерационный процесс, по этим же формулам можно вычислять a2 и b2, a3 и b3 и т.д., пока не получим &#9474;bn-an&#9474;<&#949; , где &#949; – сколь угодно малое положительное число.
Метод касательных (метод Ньютона)
Пусть функция имеет вещественный корень, который находится внутри интервала , причем и нигде не обращаются в нуль на этом интервале, следовательно, сохраняют свой знак. Тогда числа а и b могут быть приняты за первое приближение этого корня. Возможны следующие случаи:
1) на отрезке ;
2) на отрезке ;
3) на отрезке ;
4) на отрезке .
Построим касательную к функции на том конце интервала, на котором функция и ее вторая производная имеют одинаковый знак. Обозначим точку пересечения касательной с осью Ох b1 - для первого и второго случая, найдем новое приближение корня . Обозначим точку пересечения касательной с осью Ох а1 - для третьего и четвертого случаев, найдем новое приближение корня .. Продолжая итерационный процесс, по этим же формулам можно вычислять a2 и b2, a3 и b3 и т.д., пока не получим &#9474;bn-an&#9474;<&#949; , где &#949; – сколь угодно малое положительное число
Метод простой итерации
Заменим уравнение раносильным уравнением . Пусть функция при определена и непрерывна. Пусть имеются два числа х1 и х2 такие, что . Если имеют противоположные знаки, то между х1 и х2 существует хотя бы один корень уравнения. . Пусть хо полученное каким-либо путем начальное приближение к корню. Подставим начальное приближение корня в правую часть уравнения . Получим некоторое число . Проделав то же самое с х1, получим и т.д. Применяя шаг за шагом соотношение , построим числовую последовательность х0, х1,…, хn, которую называют последовательностью приближений или итерационной последовательностью (от iteratio – повторение).
Последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся. Если последовательность сходится, а функция непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения ..Условие сходимости метода простой итерации . Если хm достаточно близко у хN, то для погрешности справедливо следующее соотношение .


Другие работы по теме: