Contribution to International Economy

  • завдання з математики
Завдання 1.
В основі методу Гаусса лежить алгоритм послідовного вилучення невідомих.
Розглянемо систему 4 лінійних рівнянь з чотирма невідомими:
5,12х1+0,82х2+0,47х3+0,68х4=-11,44
0,26х1+6,46х2+0,55х3+0,37х4=-12,03
0,49х1+0,42х2+7,19х3+0,95х4=16,22
0,31х1+0,59х2+0,91х3+8,55х4=13,59
Процес розв’язання лінійної системи за методом Гаусса зводиться до побудови еквівалентної системи, яка має трикутну матрицю.
1 крок. Розділимо коефіцієнти першого рівняння на 5,12. Від коефіцієнтів другого рівняння віднімемо одержані коефіцієнти першого рівняння, помножені на 0,26. Від коефіцієнтів третього рівняння віднімемо одержані коефіцієнти першого рівняння, помножені на 0,49. Від коефіцієнтів четвертого рівняння віднімемо одержані коефіцієнти першого рівняння, помножені на 0,31.
х1+0,16016х2+0,09180х3+0,13281х4=-2,23438
6,41836х2+0,52613х3+0,33547х4=12,61094
0,34152х2+7,14502х3+0,88492х4=17,31484
0,54035х2+0,88154х3+8,50883х4=14,28266
2 крок. Перше рівняння перепишемо без змін. Розділимо коефіцієнти другого рівняння на 6,41836. Від коефіцієнтів третього рівняння віднімемо одержані коефіцієнти другого рівняння, помножені на 0,34152. Від коефіцієнтів четвертого рівняння віднімемо одержані коефіцієнти другого рівняння, помножені на 0,54035.
х1+0,16016х2+0,09180х3+0,13281х4=-2,23438
х2+0,08197х3+0,05227х4=1,964823
7,11702х3+0,86707х4=16,64381
0,83725х3+8,48059х4=13,22096
3 крок. Перше і друге рівняння перепишемо без змін. Розділимо коефіцієнти третього рівняння на 7,11702. Від коефіцієнтів четвертого рівняння віднімемо одержані коефіцієнти третього рівняння, помножені на 0,83725.
х1+0,16016х2+0,09180х3+0,13281х4=-2,23438
х2+0,08197х3+0,05227х4=1,964823
х3+0,12183х4=2,338591
8,37858х4=11,26298
4 крок. Перше, друге і третє рівняння перепишемо без змін. Розділимо коефіцієнти четвертого рівняння на 8,378583.
х1+0,16016х2+0,09180х3+0,13281х4=-2,23438
х2+0,08197х3+0,05227х4=1,964823
х3+0,12183х4=2,338591
х4=1,344258
Зворотнім ходом методу Гауса визначимо корені системи лінійних рівнянь:
х4=1,3344258
х3=2,338591-0,12183х4
х2=1,964823-0,08197х3-0,05227х4
х1=2,23438-0,16016х2-0,09180х3-0,13281х4
Виконавши послідовно підстановки, одержимо:
х1=-2,8874; х2=1,7163; х3=2,1748; х4=1,3443.

Завдання 2.
Обчислити методом ітерацій корені рівняння f(x)=0 з точністю =10-3. (виконати дві ітерації).
Попередньо виконаємо пошук інтервалів зміни знаку функції. Для цього побудуємо графіки функцій та . З побудови видно, що графіки перетинаються на інтервалах [-0.1;0.1] i [0.85; 1.0]. Для розрахунку коренів методом ітерацій приведемо досліджувану функцію до вигляду , одержимо , тобто . Дослідимо першу похідну цієї функції: на кожному з визначених інтервалів.
Для інтервалу [-0.1;0.1] перша похідна має найбільше значення на правій границі , найменше – на лівій границі . Отже, на всьому інтервалі , для розрахунку можна застосувати метод ітерацій. Візьмемо в якості початкового наближення кореня , розрахуємо першу ітерацію: . Друга ітерація: .
Оцінимо похибку визначення кореня: , де . Розрахована похибка визначення кореня .
Для інтервалу [0.85; 1.0] перша похідна має найбільше значення на правій границі , найменше – на лівій границі . Метод ітерації для пошуку кореня на цьому інтервалі застосовувати не можна.
Приведемо функцію до вигляду , для неї . Для інтервалу [0.85; 1.0] перша похідна має найменше значення на правій границі , найбільше – на лівій границі . Для цієї функції можна застосувати метод ітерації для вибраного інтервалу. Візьмемо в якості початкового наближення кореня , розрахуємо першу ітерацію: . Друга ітерація: .
Оцінимо похибку визначення кореня: , де . Розрахована похибка .

Завдання 4. Обчислити значення інтеграла , використовуючи формули трапецій і Cімпсона. Оцінити залишкові члени.
, n=6.
Нехай відрізок 0;1.2 розбитий на 6 частин рівновіддаленими точками x0, x1, …, xn. Тоді xi=a+ih, i=0,1,…,6; крок інтегрування; fi=f(xi), i=0,1,..,6.
Відповідно з узагальненою формулою трапецій наближене значення визначеного інтеграла обчислюється так:
.

.
Залишковий член обчислюється за формулою:
.
.
Узагальнена формула Сімпсона має вид:
, (4.4)
де n=2m; 1=f1+f3+…+f2m-1; 2=f2+f4+…+f2m.
Залишковий член обчислюється так:
.


Складемо таблицю розрахунку:
і xi fi
0 0 1
1 0,1 1,004988
2 0,2 1,019804
3 0,3 1,044031
4 0,4 1,077033
5 0,5 1,118034
6 0,6 1,16619
7 0,7 1,220656
8 0,8 1,280625
9 0,9 1,345362
10 1 1,414214
11 1,1 1,486607
12 1,2 1,56205

Знайдемо похідні :
;
Знайдемо величину залишкового члена:
.

Завдання 5. Знайти наближене розв’язання задачі Коші y=f(x,y) при початковій умові y(x0)=y0 на відрізку a,b з кроком h методом Ейлера, удосконаленими методами ломаних і Ейлера-Коші.
Функція

h Початкові умови



0;1 0,2 0 1
Задача Коші формулюється так: знайти розв’язок y=y(x) рівняння , задовольняючи початкову умову y(0)=1.
Будемо шукати наближений розв’язок цієї задачі на відрізку 0,1.
Визначимо число точок, в яких шукатимемо розв’язок: . Знаходимо послідовні значення аргументу: x0=0; x1=0.2; x2=0.4; x3=0.6; x4=0.8; x5=1.
Метод Ейлера. Згідно з методом Ейлера, наближене розв’язання yi=y(xi) в точках xi, i=0,…,5 знаходимо за формулою :
Yi+1=yi+0,2(cos(3+yi)+xi), i=0,1,…,5.
Знайдемо відповідні значення yi:
y1=y0+hf(x0,y0)=1-0.2*0.65364=0.8693;
y2=y1+hf(x1,y1)=0.8693-0.2*0.54672=0.7599;
і так далі. Результати розв’язання наведено в таблиці.
і xi yi f(xi,yi) Δf(xi,yi)
0 0 1 -0,6536 -0,1307
1 0,2 0,8693 -0,5467 -0,1093
2 0,4 0,7599 -0,4149 -0,0829
3 0,6 0,6770 -0,2601 -0,0520
4 0,8 0,6249 -0,0854 -0,0171
5 1 0,6079
Удосконалений метод ломаних. Для визначення yi спочатку обчислимо x0+0.5, y0+0.5 згідно з формулами:
yi+1=yi+hf(xi+0.5,yi+0.5),
де xi+0.5=xi+ , yi+0.5=yi+ f(xi,yi).
Виконаємо розрахунки:
x0+0.5=x0+ =0.1;
y0+0.5=y0+ f(x0,y0)=1-0.1189/2=0.944636.
y1=y0+hf(x0+0.5,y0+0.5)=1-0,1889=0.881096.
Результати розрахунків приведено в таблиці.
I xi yi xi+0,5 yi+0.5 f(xi+0.5,yi+0.5)
0 0 1 0,1 0,944636 -0,1189
1 0,2 0,881096 0,3 0,837216 -0,09353
2 0,4 0,787565 0,5 0,757713 -0,06323
3 0,6 0,72434 0,7 0,710844 -0,02846
4 0,8 0,695879 0,9 0,700851 0,01047
5 1 0,706349

Удосконалений метод Ейлера-Коші. Визначимо за формулою:
=y0+hf(x0,y0)=1+0,2(cos(3+1)+0)=0,869271
Потім знайдемо y1: y1=y0+

Результати розв’язання наведені в таблиці.
i xi yi
f(xi,yi)
0 0 1 0,8693 -0,6536 -0,5001
1 0,2 0,8846 0,7773 -0,5364 -0,3788
2 0,4 0,7931 0,7141 -0,3952 -0,2594
3 0,6 0,7276 0,6810 -0,2331 -0,1306
4 0,8 0,6913 0,6807 -0,0527 0,0188
5 1 0,6879

Завдання 6. Згідно з методом Ейлера, знайти мінімум функції .

Метод Ейлера базований на використанні необхідних і достатніх умов точки локального мінімуму.
Відповідно до необхідних умов точки локального мінімуму, формується і розв’язується система нелінійних у загальному випадку рівнянь:
.
Розв’язання системи дозволяє визначити стаціонарні точки функції . Для визначення точки мінімуму перевіряється виконання достатніх умов точки локального мінімуму, які полягають у додатній визначеності матриці Гесса в точці . Для перевірки достатніх умов використовується критерій Сильвестра.
Взявши часткові похідні нашої функції за змінними x1,x2 і прирівнявши їх до нуля, одержимо систему двох нелінійних рівнянь з двома невідомими:
.
В результаті розв’язання цієї системи рівнянь знаходимо корінь:
1) ;
Таким чином, функція має одну стаціонарну точку.
Перевіримо виконання достатніх умов точки локального мінімуму в цій точці. Для цього сформуємо матрицю Гесса:
; ; ; .
Використовуючи критерій Сильвестра, перевіримо характер стаціонарної точки, для чого обчислимо значення головного визначника цієї матриці:
=7•4,4=30,8;
Точка є точкою мінімуму, оскільки матриця Гесса в цій точці додатньо визначена.
Таким чином, розв’язанням є точка , причому y*=0.


Другие работы по теме: