Contribution to International Economy

  • Контрольная Матрица
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант №9
1) Решить систему ур-ий :
а) по правилу Крамера; б) с помощью обратной матрицы.
РЕШЕНИЕ:
а) по правилу Крамера;
Определитель основной матрицы (главный), задающей нашу систему вычислим, например, разлагая по первой строке, вычеркивая соответствующий столбец и строку:
=
Аналогично вычислим определитель вспомогательной матрицы, соответствующий переменной x (первый столбец основной матрицы заменяем столбцом свободных членов в правой части системы):
=
= –2(–2–1) –4(0–3) +3(0–6)= 6+12–18= 0 .
отсюда x получаем как отношение этих двух определителей, т.е. x =0:16=0.
Вычислим определитель вспомогательной матрицы, соответствующий переменной y (второй столбец основной матрицы заменяем столбцом свободных):
= 1(0–3) +2(–3–1) +3(9–0)=
= –3–8+27= 16.
отсюда y получаем как отношение двух определителей (вспомогательного и главного), т.е. y =16:16=1.
Вычислим определитель вспомогательной матрицы, соответствующий переменной z (третий столбец основной матрицы заменяем столбцом свободных членов):
= 1(6–0) –4(9–0) –2(3–2)=
= 6–36–2= –32.
отсюда z получаем как отношение двух определителей (вспомогательного и главного), т.е. z = –32:16=–2.
ОТВЕТ: x=0, y=1, z= –2.
б) с помощью обратной матрицы
Для решения этим способом нужно найти обратную матрицу для заданной. Т.е.,
если , то нужно найти А-1. Это можно cделать введением расширенной матрицы и приведением ее левой части к единичному виду с помощью элементарных преобразований. Тогда в правой ее части получится обратная матрица.
Проделаем с расширенной матрицей следующие элементарные операции:
1. домножим первую строку на –3 и сложим ее со второй (результаты см. ниже по соответствующим номерам);
2. помножим первую строку на –1 и сложим с третьей;
3. помножим вторую строку на ;
4. домножим вторую строку на 3 и сложим ее с третьей;
5. помножим третью строку на ;
6. помножим третью строку на и сложим со второй;
7. помножим третью строку на -3 и сложим с первой;
8. помножим вторую строку на –4 и сложим с первой.

=> 1. => 2. =>
=> 3. => 4. =>
=> 5. => 6. =>
=> 7. => 8.
В правой части расширенной матрицы мы получили обратную матрицу (см. 8.) . Теперь мы можем получить решение нашей системы уравнений просто умножением обратной матрицы на столбец свободных членов:
.
Результат, как видим, совпадает с предыдущим.
2) Найти производные функций:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
Решение:
а) =
(дифференцируем как произведение функций: = = (диф. как сложную функцию ) = = :
б) (диф. как сложную функцию)= ;
в) = (диф. как произведение функций)=
+ = =(диф. как сложную функцию)=
= =
= ;
г) (диф. как отношение функций: ) =
= ;
3)Исследовать функции на экстремум:
а) ; б)
Решение:
а) В точке экстремума производная функции, если она существует, должна обращаться в ноль.
В нашем случае: (диф. как произведение функций)=
= = (диф. как сложную функцию) =
= =0. Это возможно только в точках x=1, x=–1. Следовательно, нам нужно исследовать функцию только в этих точках. Это можно сделать с учетом изменения знака производной в этих точках, т.е. поведения роста функции. В точке x=1 производная меняет знак с + на –, т.е. функция имеет локальный максимум. В точке x=–1 производная меняет знак с – на +, т.е. функция имеет локальный минимум. Т.к. на бесконечности функция стремится к нулю, то эти локальные кстремумы будут и глобальными. Т.е. слово локальный можно убрать.
Ответ: функция y имеет при x=1– максимум, равный е-1/2, и при x= –1 минимум, равный - е-1/2.
б) Для функции от двух переменных в точке локального экстремума в ноль обращаются первые частные производные (если они существуют). Учитывая это, имеем, систему уравнений:

Следовательно, на экстремум нужно проверить только эту точку. Для этого нужно посчитать частные производные второго порядка.

Воспользуемся известным критерием для определения локального экстремума, а именно если и , то мы имеем локальный минимум.
Ответ: при x=0, y=3 – функция z имеет локальный минимум, равный -9.
4) В ящике 20 деталей из них 5 бракованных. Наугад извлечены 4 детали. Найти вероятность того что:
а) 1 бракованная;
б) 2 бракованные;
г) хотя бы одна бракованная.
Решение:
Очевидно, что выбор любой четверки деталей имеет одну и ту же вероятность. Всего существует способов составить такую четверку, то есть случайный эксперимент в данном случае имеет равновероятных возможных исходов.
Нам нужно вычислить количество «благоприятных», соответствующих условиям задачи, исходов N. Искомая вероятность Р будет равна отношению N на , т.е. .
а) Каждую интересующую нас четверку деталей можно составить так: выбрать одну бракованную деталь, что можно сделать 5 способами. Каждая бракованная деталь может встретиться в четверке столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя не бракованными деталями (из 15), то есть – раз. Имеем искомое число «благоприятных» исходов равно , и ,следовательно, 0,47.
Ответ: вероятность вытащить ровно одну бракованную деталь примерно равна 0,48.
б) Аналогично предыдущему пункту, каждую интересующую нас четверку можно составить так: выбрать две бракованные детали (из 5), что можно сделать числом способов равным . Каждая уже выбранная пара бракованных деталей может встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить двумя не бракованными деталями (из 15), то есть раз. Получается, что число четверок, содержащих две бракованные детали, равно . Отсюда, обозначив искомую вероятность через P, получаем:
0.2170,22.
Ответ: вероятность вытащить ровно две бракованные детали примерно равна 0,22.
г) В этом случае лучше посчитать Р0 вероятность дополнительного события, т.е. вероятность вытащить все 4 детали без брака (из 15). Эту выборку можно осуществить способами. Отсюда, получаем:
0,28
Имеем, вероятность получить выборку без бракованных деталей равна Р00,28. Вероятность интересующего нас дополнительного события будет равна 0,72.
Ответ: вероятность того, что в выборке окажется хотя бы одна бракованная деталь равна 0,72.
5) Задан закон распределения дискретной случайной величины


–2 –1 0 1
p 0,3 a 0,2 0,1
Найти:
а) параметр а;
б) функцию распределения F(x) и построить ее график;
в) математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратическое отклонение .
Решение:
а) Поскольку а – это вероятность, а сумма вероятностей всех возможных событий всегда равна 1, имеем: 1=0,3+а+0,2+0,1. Откуда находим а=0,4.
Ответ: а=0,4.
б) По определению функция распределения случайной величины F(x) для каждого х указывает вероятность того, что значение случайной величины будет меньше х. Или в математической записи F(x)= . Для дискретной случайной величины это означает, что нужно просто просуммировать все возможные значения, которые принимает случайная величина, меньшие х, для каждого фиксированного х. Имеем

График этой функции:


в) По определению мат. ожидание для дискретной случайной величины вычисляется по следующей формуле: . В нашем случае имеем: .
Дисперсия может вычисляться по формуле :
=1,2+0,4+0,1–0,81=0,89.
Среднеквадратическое отклонение– 0,94.
Ответ: , 0,89, 0,94..
6) Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Найти:
а) плотность распределения f(x);
б) вероятность попадания случайной величины на интервал ;
в) математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратическое отклонение .
Решение:
а) По определению плотность распределения
f(x) =
в точках х=3 и х=4 функция плотности неопределенна, но в непрерывном случае это не существенно.
б) вероятность попадания случайной величины на интервал равна:
1–(7/2–3)=1/2.
Ответ: вероятность попадания случайной величины на интервал равна 0,5.
в) Математическое ожидание вычислим по формуле для непрерывной случайной величины (с учетом найденной плотности):
=3,5.
Дисперсию вычислим по формуле
;
.
и среднеквадратическое отклонение .
Ответ: , , .


Другие работы по теме: